矩阵的迹

矩阵的迹 (Trace)

什么是矩阵的迹（Trace）

$tr({\mathbf{A}}^T\mathbf{B})=\sum _{i,j}{A}_{ij}{B}_{ij}$
$\mathbf{A},\mathbf{B}$ 同尺寸，即 $tr({\mathbf{A}}^T\mathbf{B})$ 是矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 的内积，或者说是方阵的对角线元素之和

注意矩阵的迹是一个实数

常见的迹（Trace）技巧 (Trick)

1. 标量套迹值不变： $a=tr(a)$
2. 转置：$tr({\mathbf{A}}^T)=tr(\mathbf{A})$
3. 线性：$tr(\mathbf{A}\pm \mathbf{B})=tr(\mathbf{A})\pm tr(\mathbf{B})$
4. 矩阵乘法直接交换：$tr(\mathbf{AB})=tr(\mathbf{BA})=\sum _{ij}{A}_{ij}{B}_{ji}$
5. 矩阵乘法与逐元素乘法交换： $tr({\mathbf{A}}^T(\mathbf{B}⨀\mathbf{C}))=tr((\mathbf{A}⨀\mathbf{B}{)}^T\mathbf{C})$ 其中三个矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$ 尺寸相同，两侧都等于 $\sum _{ij}{A}_{ij}{B}_{ij}{C}_{ij}$

其他备注

有时候，也有如下表示 $tr(A^{\top }B)=A:B$ 因此，相关的性质也可以变成 $A:B=B:A=A^{\top }:B^{\top }=B^{\top }:A^{\top }$ $A:BC=A{C}^{\top }:B=B^{\top }A:C$ $A:(B\odot C)=(A\odot B):C$